Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AD平分∠BAC，且AD=8，則△ABC的面積等于24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，設(shè)CD=x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程求出CD，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：作DE⊥AB于E，
設(shè)CD=x，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=x，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{64-{x}^{2}}$，
則AE=$\sqrt{64-{x}^{2}}$，
BE=$\sqrt{（12-x）^{2}-{x}^{2}}$，
∴$（\sqrt{64-{x}^{2}}+\sqrt{144-24x}）^{2}$=64-x²+144，
解得，x=4，x=4±4$\sqrt{7}$（不合題意舍去），
當(dāng)CD=4時(shí)，AC=$\sqrt{64-{x}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×AC×CB=24$\sqrt{3}$，
故答案為：24$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角平分線的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．