Question

20．一直角三角形兩直角邊的和是6cm，其中一邊長xcm．
（1）設(shè)這個(gè)三角形面積為S，求S的最大值．
（2）設(shè)以這個(gè)直角的三角形的斜邊長為邊長的正方形的面積為S_正，求S_正的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的一直角邊為x，則另一直角邊長為6-x，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)一直角邊長為x，表示出另一直角邊，再利用勾股定理列式表示出斜邊的平方，即為正方形的面積，然后整理出頂點(diǎn)式形式，再利用二次函數(shù)的最值問題求解．

解答 解：（1）∵直角三角形的兩條直角邊之和是6，
∴直角三角形的一直角邊為x，斜邊長為y，則另一直角邊長為6-x，
∴S=x（6-x），即S=-x²+6x，
∴S_最大=$\frac{-{6}^{2}}{4×（-1）}$=9；

（2）設(shè)斜邊長為y，直角三角形的一直角邊為x，則另一直角邊長為6-x，
由勾股定理得：y²=x²+（6-x）²=2x²-12x+36，
∴設(shè)以這個(gè)直角的三角形的斜邊長為邊長的正方形的面積S_正=y²，
即S_正=2x²-12x+36=2（x-3）²+18，
所以，當(dāng)x=3時(shí)，即三角形為等腰直角三角形時(shí)，以此三角形的斜邊為邊長的正方形面積有最小值為18．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的最值問題，勾股定理，此類題目，整理出頂點(diǎn)式形式求解更簡便．