Question

8．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分別平分∠BAC和∠ACB，且AD與CE交于點(diǎn)M．點(diǎn)N在射線AD上，且NA=NC．過(guò)點(diǎn)N作NF⊥CE于點(diǎn)G，且與AC交于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)F作FH∥CE，且與AB交于點(diǎn)H．

（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，點(diǎn)M，N，G重合．
①請(qǐng)根據(jù)題目要求在圖1中補(bǔ)全圖形；
②連結(jié)EF，HM，則EF與HM的數(shù)量關(guān)系是EF=HM；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，求證：AF=EH．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)條件可補(bǔ)全圖形，如圖1①；②連接MF，如圖1②，要證EF=HM，由于點(diǎn)M，N重合，只需證到EF=HN，只需證到四邊形ENFH是矩形即可．
（2）連接FM，EF，如圖2．易證△ANC是等邊三角形，從而有AN=AC．進(jìn)而可證到△AFN≌△AMC，則有AF=AM，從而得到△AMF是等邊三角形，則有AF=FM，∠AMF=60°．進(jìn)而可證到四邊形FHEM是平行四邊形，則有EH=FM，即AF=EH．

解答 解：（1）①補(bǔ)全圖形，如圖1①．
②連接MF，EF，如圖1②．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CA=CB．
∵CE平分∠ACB，
∴CE⊥AB，即∠AEC=90°．
∵NF⊥CE，即∠FNC=90°，
∴∠AEC=∠FNC，
∴EH∥FN．
∵FH∥CE，
∴四邊形ENFH是平行四邊形．
∵∠AEC=90°，
∴平行四邊形ENFH是矩形．
∴EF=HN．
∵點(diǎn)M，N重合，
∴EF=HM．
故答案為：EF=HM．

（2）連接FM，如圖2．
∵AD，CE分別平分∠BAC和∠ACB，且∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，∠ACE=∠BCE．
∵AB=AC，∴AD⊥BC．
∵NG⊥EC，
∴∠MDC=∠NGM=90°，
∴∠BCE+∠DMC=90°，∠MNG+∠DMC=90°．
∴∠BCE=∠MNG．
∴∠ACE=∠MNG．
∵NA=NC，∠NAC=60°，
∴△ANC是等邊三角形，
∴AN=AC．
在△AFN和△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANF=∠ACM}\\{AN=AC}\\{∠NAF=∠CAM}\end{array}\right.$，
∴△AFN≌△AMC（ASA），
∴AF=AM．
∴△AMF是等邊三角形．
∴AF=FM，∠AMF=60°．
∴∠AMF=∠BAD．
∴FM∥AE．
∵FH∥CE，
∴四邊形FHEM是平行四邊形．
∴EH=FM．
∴AF=EH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．