Question

如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)A（1，4），且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿CB、BA向終點(diǎn)B、A運(yùn)動(dòng)，問(wèn)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形；
（3）在y軸是否存在點(diǎn)M，使得△ABM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，因?yàn)橹�道拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以可設(shè)設(shè)解析式為y=a（x-1）²+4，把B的坐標(biāo)代入求出a的值即可；
（2）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=1與x軸的交點(diǎn)為E，再分當(dāng)Rt△PBQ∽R(shí)t△ABE時(shí)，當(dāng)Rt△PBQ∽R(shí)t△EBA時(shí)，分別討論，求出t的值即可；
（3）在y軸存在點(diǎn)M，使得△ABM是等腰三角形，易求AB的長(zhǎng)，設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），分三種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)MB=MA時(shí)，②當(dāng)MB=BA時(shí)，③當(dāng)MA=AB時(shí)，分別求出滿(mǎn)足△ABM是等腰三角形時(shí)m的值．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為點(diǎn)A（1，4），且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0）．由點(diǎn)B和C關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，
∴C（-2，0），
設(shè)解析式為y=a（x-1）²+4且過(guò)點(diǎn)B（4，0），
∴a=-

4

9

，
∴y=-

4

9

（x-1）²+4，
（2）PB=6-t，BQ=t，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=1與x軸的交點(diǎn)為E，
①如圖1，當(dāng)Rt△PBQ∽R(shí)t△ABE時(shí)，

∵A（1，4），B（4，0）．
∴AB=

AE2+BE2

=

42+(4-1)2

=5
∴

PB

AB

=

BQ

BE

，
即有

6-t

5

=

t

3

∴t=

9

4

；                                  
②如圖2，當(dāng)Rt△PBQ∽R(shí)t△EBA時(shí)，

∵A（1，4），B（4，0）．
∴BE=3，AB=

AE2+BE2

=

42+(4-1)2

=5，
∴

PB

EB

=

BQ

BA

，即有

6-t

3

=

t

5

∴t=

15

4

．
∴當(dāng)t=

9

4

或t=

15

4

時(shí)，Rt△PBQ是直角三角形．
（3）在y軸存在點(diǎn)M，使得△ABM是等腰三角形，理由如下：
∵點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（4，0），
∴AB=

AE2+BE2

=5，
①當(dāng)MB=MA時(shí)，則AB為底，所以以作AB的垂直平分線(xiàn)交y軸，于M，此時(shí)M的坐標(biāo)為（0，

1

8

）；
②當(dāng)MB=BA時(shí)，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，和y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）、（0，-3）；
③當(dāng)MA=AB時(shí)，以A為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，和y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4+2

6

）、（0，4-2

6

）；
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3）或（0，-3）或（0，4+2

6

）或（0，4-2

6

）或（0，

1

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的解析式，解答第三問(wèn)的時(shí)候需要分三種情況進(jìn)行討論，同學(xué)們很容易出現(xiàn)漏解的情況，請(qǐng)同學(xué)們解答的時(shí)候稍加注意．