Question

1．如圖，△ABC與△ABD都是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AC上，BE=CF，AE與BF交于點(diǎn)G．
（1）求∠AGF的度數(shù)；
（2）連接DG，若AG=3、BG=2，求DG的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△ABE≌△BCF，則∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性質(zhì)得∠BGE=∠ABG+∠BAE，則∠BGE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，然后根據(jù)對頂角相等即可得到結(jié)論；
（2）延長GE至點(diǎn)H，使GH=GB，由于∠BGE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定得到△BGH為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BG=BH=GH，∠GBH=60°，且AB=BD，∠ABD=60°，易得∠ABH=∠DBG，根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△DBG≌△ABH（SAS），則DG=AH，即可得到DG=AG+BG．

解答 （1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠AGF=∠BGE=60°；

（2）證明：延長GE至點(diǎn)H，使GH=GB，如圖，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH為等邊三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBG=∠ABH}\\{BG=BH}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG，
∵AG=3、BG=2，
∴DG=5．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．