Question

已知拋物線y=ax²+bx+c，頂點C（1，-4），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點N（0，-3）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作⊙M，與拋物線的對稱軸交于點E，依次連結A，D，B，E，點Q為線段AB上一動點，過點Q作QF⊥AE，QG⊥DB，請判斷

QF

BE

+

QG

AD

是否為定值；
（3）請求出拋物線在（2）的條件下與⊙M的所有交點．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由于已知頂點坐標，則可設頂點式y(tǒng)=a（x-1）²-4，然后N（0，-3）代入計算出a的值即可；
（2）根據圓周角定理得到∠AEB=90°，∠ADB=90°，再證明△AQF∽△ABE，△BQG∽△BAD，利用相似比得到

QF

BE

=

AQ

AB

，

QG

AD

=

BQ

BA

，所以

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

BQ

BA

=1，
（3）先確定點A（-1，0），B（3，0），M（1，0），則AB=4，MD=2，利用拋物線上點的坐標特征，設拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點坐標為（x，x²-2x-3），根據兩點間的距離公式得到（x-1）²+（x²-2x-3）²=2²，整理得x⁴-4x³-x²+10x+6=0，由于拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點有A（-1，0），B（3，0），則可判斷x₁=-1，x₂=3是x⁴-4x³-x²+10x+6=0的解，于是方程x⁴-4x³-x²+10x+6=0一定可化為（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0，然后把方程（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0的左邊展開，利用恒等變形得到m-2=-4，-3n=6，解得m=-2，n=-2，所以（x+1）（x-3）（x²-2x-2）=0，再解方程得x₁=-1，x₂=3，x₃=1+

3

，x₄=1-

3

，分別計算出當x=1+

3

和x=1-

3

時的函數(shù)值，從而確定拋物線與⊙M的所有交點坐標．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
把N（0，-3）代入得a（0-1）²-4=3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3；

（2）

QF

BE

+

QG

AD

為定值．理由如下：
∵AB為⊙M的直徑，
∴∠AEB=90°，∠ADB=90°，
∵QF⊥AE，QG⊥DB，
∴QF∥BE，QG∥AD，
∴△AQF∽△ABE，△BQG∽△BAD，
∴

QF

BE

=

AQ

AB

，

QG

AD

=

BQ

BA

，
∴

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

BQ

BA

=

AQ+BQ

AB

=1，
即

QF

BE

+

QG

AD

的值為定值；

（3）∵當y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴點A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3+1=4，
∴MD=2，
∵ME為拋物線的對稱軸，
∴M點的坐標為（1，0），
設拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點坐標為（x，x²-2x-3），
而此交點到M點的距離為2，
∴（x-1）²+（x²-2x-3）²=2²，
整理得x⁴-4x³-x²+10x+6=0，
∵拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點有A（-1，0），B（3，0），
即x₁=-1，x₂=3是x⁴-4x³-x²+10x+6=0的解，
∴方程x⁴-4x³-x²+10x+6=0可化為（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0，
把方程（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0整理為x⁴+（m-2）x³+（n-2m-3）x²+（-2n-3m）x-3n=0，
∴m-2=-4，-3n=6，
∴m=-2，n=-2，
∴（x+1）（x-3）（x²-2x-2）=0，
∴x+1=0或x-3=0或x²-2x-2=0，解得x₁=-1，x₂=3，x₃=1+

3

，x₄=1-

3

，
當x=1+

3

時，y=（x-1）²-4=-1；當x=1-

3

時，y=（x-1）²-4=-1，
∴拋物線在（2）的條件下與⊙M的所有交點坐標為（-1，0），（3，0），（1+

3

，-1），（1-

3

，-1）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質和二次函數(shù)的性質；了解二從函數(shù)圖象上點的坐標特征；會運用因式分解法解方程和兩點間的距離計算線段的長．