Question

已知拋物線y=ax²+bx+c，頂點(diǎn)C（1，-4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N（0，-3）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作⊙M，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，依次連結(jié)A，D，B，E，點(diǎn)Q為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QF⊥AE，QG⊥DB，請(qǐng)判斷

QF

BE

+

QG

AD

是否為定值；
（3）請(qǐng)求出拋物線在（2）的條件下與⊙M的所有交點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²-4，然后N（0，-3）代入計(jì)算出a的值即可；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°，∠ADB=90°，再證明△AQF∽△ABE，△BQG∽△BAD，利用相似比得到

QF

BE

=

AQ

AB

，

QG

AD

=

BQ

BA

，所以

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

BQ

BA

=1，
（3）先確定點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），M（1，0），則AB=4，MD=2，利用拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到（x-1）²+（x²-2x-3）²=2²，整理得x⁴-4x³-x²+10x+6=0，由于拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點(diǎn)有A（-1，0），B（3，0），則可判斷x₁=-1，x₂=3是x⁴-4x³-x²+10x+6=0的解，于是方程x⁴-4x³-x²+10x+6=0一定可化為（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0，然后把方程（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0的左邊展開，利用恒等變形得到m-2=-4，-3n=6，解得m=-2，n=-2，所以（x+1）（x-3）（x²-2x-2）=0，再解方程得x₁=-1，x₂=3，x₃=1+

3

，x₄=1-

3

，分別計(jì)算出當(dāng)x=1+

3

和x=1-

3

時(shí)的函數(shù)值，從而確定拋物線與⊙M的所有交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
把N（0，-3）代入得a（0-1）²-4=3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3；

（2）

QF

BE

+

QG

AD

為定值．理由如下：
∵AB為⊙M的直徑，
∴∠AEB=90°，∠ADB=90°，
∵QF⊥AE，QG⊥DB，
∴QF∥BE，QG∥AD，
∴△AQF∽△ABE，△BQG∽△BAD，
∴

QF

BE

=

AQ

AB

，

QG

AD

=

BQ

BA

，
∴

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

BQ

BA

=

AQ+BQ

AB

=1，
即

QF

BE

+

QG

AD

的值為定值；

（3）∵當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3+1=4，
∴MD=2，
∵M(jìn)E為拋物線的對(duì)稱軸，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
而此交點(diǎn)到M點(diǎn)的距離為2，
∴（x-1）²+（x²-2x-3）²=2²，
整理得x⁴-4x³-x²+10x+6=0，
∵拋物線y=x²-2x-3與⊙M的交點(diǎn)有A（-1，0），B（3，0），
即x₁=-1，x₂=3是x⁴-4x³-x²+10x+6=0的解，
∴方程x⁴-4x³-x²+10x+6=0可化為（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0，
把方程（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0整理為x⁴+（m-2）x³+（n-2m-3）x²+（-2n-3m）x-3n=0，
∴m-2=-4，-3n=6，
∴m=-2，n=-2，
∴（x+1）（x-3）（x²-2x-2）=0，
∴x+1=0或x-3=0或x²-2x-2=0，解得x₁=-1，x₂=3，x₃=1+

3

，x₄=1-

3

，
當(dāng)x=1+

3

時(shí)，y=（x-1）²-4=-1；當(dāng)x=1-

3

時(shí)，y=（x-1）²-4=-1，
∴拋物線在（2）的條件下與⊙M的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，0），（1+

3

，-1），（1-

3

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)；了解二從函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)運(yùn)用因式分解法解方程和兩點(diǎn)間的距離計(jì)算線段的長(zhǎng)．