【題目】如圖△ABC中,CACB,∠ACB90°,D為△ABC外一點,且ADBD,BDACE,GBC上一點,且∠BCG=∠DCA,過G點作GHCGCBH

1)求證:CDCG;

2)若ADCG,求證:ABAC+BH

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABC45°,然后求出∠DAC=∠GBC,再利用“角邊角”證明△ACD和△BCG全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可;

2)延長CGABF,求出△CDG是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CGD45°,然后求出∠BGH=∠BGF,再求出BGCG,根據(jù)等邊對等角可得∠BCG=∠CBG,然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CBG22.5°,再求出∠GBF22.5°,從而得到∠CBG=∠GBF,利用“角邊角”證明△BGF和△BGH全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BHBF,再求出∠ACF=∠AFC67.5°,根據(jù)等角對等邊可得ACAF,然后根據(jù)ABAF+BF等量代換即可得證.

證明:(1)∵CACB,∠ACB90°,

∴∠BAC=∠ABC45°,

ADBD,

∴∠DAC+45°+ABD90°,

∴∠DAC+ABD45°,

∵∠GBC+ABD=∠ABC45°,

∴∠DAC=∠GBC,

在△ACD和△BCG中,

∴△ACD≌△BCGASA),

CDCG

2)如圖,延長CGABF,

∵∠BCG=∠DCA,

∴∠DCG=∠DCA+ACG=∠BCG+ACG=∠ACB90°,

又∵CDCG,

∴△CDG是等腰直角三角形,

∴∠CGD45°,

GHCG,∠BGF=∠CGD(對頂角相等),

∴∠BGH=∠BGF,

∵△ACD≌△BCG

ADBG,

ADCG,

BGCG

∴∠BCG=∠CBG,

由三角形的外角性質(zhì),∠BGF=∠BCG+CBG45°,

∴∠CBG22.5°,

∴∠GBF=∠ABC﹣∠CBG45°﹣22.5°=22.5°,

∴∠CBG=∠GBF,

在△BGF和△BGH中, ,

∴△BGF≌△BGHASA),

BHBF,

又∵∠AFC=∠ABD+BGF22.5°+45°=67.5°,

∴∠ACF180°﹣∠BAC﹣∠AFC180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,

∴∠ACF=∠AFC67.5°,

ACAF

ABAF+BF,

ABAC+BH

練習冊系列答案
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