Question

16．如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在BC上且BE=CD，AB=CE，EF平分∠AED．
（1）求證：△ABE≌△ECD；
（2）猜測(cè)EF與AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若DF=$\frac{1}{2}$AE，請(qǐng)判斷△AED的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠C，于是得到△ABE≌△ECD；
（2）EF⊥AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DF=$\frac{1}{2}$AD，等量代換得到AD=AE=DE，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE與△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECD；

（2）EF⊥AD，
理由：∵△ABE≌△ECD，
∴AE=DE，
∵EF平分∠AED，
∴EF⊥AD；

（3）△AED是等邊三角形，
∵AE=DE，
∵EF平分∠AED，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵DF=$\frac{1}{2}$AE，
∴AD=AE=DE，
∴△AED是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證得△ABE≌△ECD是解題的關(guān)鍵．