Question

3．如圖，△ABC是等邊三角形，BE⊥AC于E，點(diǎn)F、G在BE上（BF＜BG），連接AF，CG，CG²=GF•GB，
（1）求證：∠AFE=∠BCG；
（2）過(guò)點(diǎn)F作直線CG的垂線，垂足為H，M為AB的中點(diǎn)，連接MH，探究MH與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連結(jié)CF，由CG²=GF•GB，加上∠CGF=∠BGC，則可判斷△CGF∽△BGC，則∠GFC=∠BCG，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AFE=∠GFC，所以∠AFE=∠BCG；
（2）連結(jié)ME，HE，CM，如圖2，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠2=∠EBC=∠BCM=30°，再利用△CGF∽△BGC得到∠GCF=∠GBC=30°，則∠1=∠MCH，接著證明H、E點(diǎn)在以FC為直徑的圓上，理由圓周角定理得到∠3=∠HCF=30°，于是可判斷HE∥BC，而ME∥BC，所以點(diǎn)H在ME上，即有MH∥BC，所以∠HMC=∠MCB=30°，∠2=∠HMC，于是可得到△ABF∽△CMH，利用相似比得BF：MH=AB：CM，由于CM=$\sqrt{3}$BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，所以MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF．

解答 （1）證明：如圖1，連結(jié)CF，
∵CG²=GF•GB，即$\frac{CG}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$，
而∠CGF=∠BGC，
∴△CGF∽△BGC，
∴∠GFC=∠BCG，
∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，
∴AE=CE，
∴FE平分∠AFC，
∴∠AFE=∠GFC，
∴∠AFE=∠BCG；
（2）解：MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF．
理由如下：連結(jié)ME，HE，CM，如圖2，
∵△ABC是等邊三角形，M點(diǎn)為中點(diǎn)，BE⊥AC，
∴∠2=∠EBC=∠BCM=30°，
∵△CGF∽△BGC，
∴∠GCF=∠GBC=30°，
∴∠1=∠MCH，
∵FH⊥CG，
∴∠FGC=90°，
而∠FEC=90°，
∴H、E點(diǎn)在以FC為直徑的圓上，
∴∠3=∠HCF=30°，
∴HE∥BC，
∵M(jìn)E為△ABC的中位線，
∴ME∥BC，
∴點(diǎn)H在ME上，
∴MH∥BC，
∴∠HMC=∠MCB=30°，
∴∠2=∠HMC，
∴△ABF∽△CMH，
∴BF：MH=AB：CM，
在Rt△BCM中，BM=$\frac{1}{2}$BC，
CM=$\sqrt{3}$BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，注意通過(guò)相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)或?qū)��?yīng)角線段．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建含BF和MH的兩三角形相似，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．