Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），求m的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（3）第（2）問(wèn)中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D，求過(guò)A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；
（4）在第（3）問(wèn)的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)E，使△OCE的面積S₁與△OCD的面積S滿足：S₁=

2

3

S？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法，由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），即可求得解析式；
（2）由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，即可求得m的值；又由此一次函數(shù)是正比例函數(shù)平移得到的，可知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的比例系數(shù)相同，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得解析式；
（3）令一次函數(shù)令y=x-

9

2

中的x=0得，y=-

9

2

，令y=x-

9

2

中的y=0得，x=

9

2

，求出D（0，-

9

2

），C（

9

2

，0），然后利用待定系數(shù)法，即可求出過(guò)A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；
（4）先由三角形的面積公式計(jì)算出△OCD的面積S=

81

8

，再計(jì)算出S₁=

2

3

S=

27

4

，然后設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由三角形OCE面積公式求出y=±3，再由點(diǎn)E在拋物線上，將y=±3，代入拋物線求出x的值，即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=ax，反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），
∴3=3a，3=

k

3

，
∴a=1，k=9，
∴正比例函數(shù)的解析式為y=x，反比例函數(shù)的解析式為y=

9

x

．
（2）∵點(diǎn)B（6，m）在反比例函數(shù)上，
∴m=

9

6

=

3

2

，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，

3

2

），
∵直線BD是直線OA平移后所得的直線，
∴可設(shè)直線BD的解析式為y=x+b，
將B點(diǎn)代入上面的關(guān)系式得：

3

2

=6+b，
∴b=-

9

2

，
∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=x-

9

2

．
（3）令y=x-

9

2

中的x=0得，y=-

9

2

，
∴D（0，-

9

2

），
令y=x-

9

2

中的y=0得，x=

9

2

，
∴C（

9

2

，0），
設(shè)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為：
y=ax²+bx+c，
將A（3，3）、B（6，

3

2

）、D（0，-

9

2

）三點(diǎn)代入上面的關(guān)系式得：

9a+3b+c=3① 36a+6b+c= 3 2 ② c=- 9 2 ③

，
解得：

a=- 1 2 b=4 c=- 9 2

，
∴過(guò)A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x2+4x-

9

2

，
（4）存在點(diǎn)E，使△OCE的面積S₁與△OCD的面積S滿足：S₁=

2

3

S，
∵S△OCD=

1

2

•OC•OD=

1

2

•

9

2

•

9

2

=

81

8

，
∴S₁=

2

3

S=

2

3

×

81

8

=

27

4

，
設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵S△OCE=

1

2

•OC•|y|，
∴

27

4

=

1

2

•

9

2

•|y|，
∴y=±3，
將y=3代入y=-

1

2

x2+4x-

9

2

得：
x₁=3，x₂=5，
∴E₁（3，3），E₂（5，3），
將y=-3代入y=-

1

2

x2+4x-

9

2

得：
x3=4+

13

，x4=4-

13

，
∴E3(4+

13，

-3)，E4(4-

13，

-3)，
∴存在4個(gè)點(diǎn)E，E₁（3，3），E₂（5，3），E3(4+

13，

-3)，E4(4-

13，

-3)，使△OCE的面積S₁與△OCD的面積S滿足：S₁=

2

3

S．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式與三角形面積的求解方法等知識(shí)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．