Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AF⊥CD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)F，BE∥AC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，給出下列結(jié)論：①∠BAE=∠ACD，②△ADC≌△BEA，③AC=AF，④∠BDE=∠EDC，⑤BC⊥DE．上述結(jié)論正確的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②⑤
• B． ②④⑤
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 由∠BAE+∠FAC=90°，∠ACD+∠FAC=90°，得出∠BAE=∠ACD，①正確；由ASA證明△ADC≌△BEA，②正確；由AC=AB＞AF，得出③不正確；由全等三角形的性質(zhì)得出AD=BE，由AD=BD，得出BE=BD，∠BDE=45°≠∠EDC，④不正確；由等腰直角三角形的三線合一性質(zhì)得出⑤正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAE+∠FAC=90°，
∴AB=AC，∠CBA=∠ACB=45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AHC=90°，
∴∠ACD+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACD，①正確；
∵BE∥AC，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴∠ABE=90°，
在△ADC和△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ABE=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\\{∠ACD=∠BAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEA（ASA），②正確；
∵AC=AB＞AF，
∴③不正確；
∵△ADC≌△BEA，
∴AD=BE，
∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴BE=BD，
∴∠BDE=45°≠∠EDC，④不正確；
∵∠ABE=90°，BE=BD，∠CBA=45°，
∴∠EBP=45°，
即BP平分∠ABE，
∴BP⊥DE，
即BC⊥DE，⑤正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．