Question

如圖，銳角△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，M、N分別是BD、BC線段上運動的點，S_△ABC=8，AB=4，求：MN+MC的最小值是多少？

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：因為BD是∠ABC的角平分線，設(shè)N關(guān)于BD的對稱點為R，由于為銳角三角形，則R必在AB上，作AB邊上的高CE，E在線段AB上，連接CR交AD于M，則MN=MR，CM+MN=CM+MR=CR，在直角三角形CER中，CR是斜邊，CE是直角邊，所以CR最小值是和CE重合即為三角形ABC的AB邊上的高線，利用面積公式求出高線CE即可．

解答：解：設(shè)N關(guān)于AB的對稱點為R，由于為銳角三角形，則R必在AB上，作AB邊上的高CE，E在線段AB上，連接CR交AD于M，
∴MN=MR，
∴CM+MN=CM+MR=CR≥CE，
∵面積為8，AB=4，
∴8=

1

2

AB•BE，
∴BE=4，
∴MN+MC的最小值為4．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是正確的作出對稱點和利用垂直平分線的性質(zhì)證明BM+MN的最小值為三角形某一邊上的高線．