Question

2．如圖所示，△ABC中，∠BAC為銳角，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD，BE交于H，AD=BD．
（1）求證：BH=AC；
（2）現(xiàn)將∠BAC改為鈍角，按題設(shè)要求畫出圖形，結(jié)論BH=AC是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質(zhì)得出∠HBD=∠DAC，利用ASA證明△BDH≌△ADC，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）證明△BDH≌△ADC，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
同理：∠C+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠DAC，
在△BDH和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠ADC=90°}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\\{∠HBD=∠DAC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC；
（2）解：成立；理由如下：如圖所示：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠C+∠DAC=90°，∠C+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠C，在△BDH和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠ADC=90°}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\\{∠HBD=∠DAC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；本題難度適中，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．