Question

如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．
（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；
（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；
（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，（2）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題,平行線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,多邊形內(nèi)角與外角

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由EN∥AD和點M為DE的中點可以證到△ADM≌△NEM，從而證到M為AN的中點．
（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．
（3）延長AB交NE于點F，易得△ADM≌△NEM，根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和，可得∠ABC=∠FEC，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．

解答：（1）證明：如圖1，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵點M為DE的中點，
∴DM=EM．
在△ADM和△NEM中，
∴

∠MAD=∠MNE ∠ADM=∠NEM DM=EM

．
∴△ADM≌△NEM．
∴AM=MN．
∴M為AN的中點．

（2）證明：如圖2，
∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，
∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°．
∵∠DAE=90°，
∴∠NEA=90°．
∴∠NEC=135°．
∵A，B，E三點在同一直線上，
∴∠ABC=180°-∠CBE=135°．
∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已證），
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，

AB=NE ∠ABC=∠NEC BC=EC

∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．
證明：如圖3，延長AB交NE于點F，
∵AD∥NE，M為中點，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
∵AD∥NE，
∴AF⊥NE，
在四邊形BCEF中，
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°-180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中，

AB=NE ∠ABC=∠NEC BC=EC

∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN為等腰直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角與外角等知識，滲透了變中有不變的辯證思想，是一道好題．