Question

已知⊙O的半徑為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB是⊙O的弦，四邊形ABCD是以AB為邊的正方形，點(diǎn)C、D在⊙O外．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，求出點(diǎn)C與圓心O的距離；
（2）如圖2，將圖1中的正方形ABCD沿y軸向上平移至與⊙O相切，求出此時(shí)平移的距離；
（3）如圖3，點(diǎn)A在x 軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸上方，當(dāng)點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)：
①直線BD是否總經(jīng)過一定點(diǎn)？若直線BD過一定點(diǎn)，直接寫出這點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過一定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．
②求出點(diǎn)C與圓心O距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先證得△CHB≌△AOB，得出CH=BH=OA=OB=1，然后根據(jù)勾股定理求得OC；
（2）根據(jù)勾股定理求得OB′然后OB′-OB即可；
（3）①連接BD交⊙O于E，連接OE，由∠ABD=45°，得出∠AOE=90°，證得OE在y軸上，進(jìn)而求得E的坐標(biāo)；②根據(jù)三角形全等求得EC=AE=

2

，因?yàn)镃在y軸上
點(diǎn)C與圓心O距離的最大，從而求得最大值為

2

+1；

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥y軸，垂足為H，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH=∠HCB=45°，
∵AB=BC，
∴△CHB≌△AOB，
∴CH=BH=OA=OB=1，
∴OH=2，
∴OC=

CH2+OH2

=

12+22

=

5

；


（2）如圖2，∵OB′=

2

，OB=1，
∴平移的距離為BB′=OB′-OB=

2

-1；

（3）如圖3，①連接BD交⊙O于E，連接OE，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOE=90°，
∴OE在y軸上，
∴E（0，1），
∴經(jīng)過定點(diǎn)E（0，1）；              
②連接CE，AE，
∵∠CBE=∠ABE，AB=BC，BE=BE，
∴△BC'E≌△BAE．
∴CE=AE=

2

，
∴當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)C與圓心O距離的最大，最大值為

2

+1；

點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓周角和圓心角的關(guān)系等，本題的關(guān)鍵是圓心角和圓周角的關(guān)系；