Question

已知⊙O的半徑為1，O為坐標原點，AB是⊙O的弦，四邊形ABCD是以AB為邊的正方形，點C、D在⊙O外．
（1）如圖1，當點A在x 軸正半軸上、點B在y軸正半軸上時，求出點C與圓心O的距離；
（2）如圖2，將圖1中的正方形ABCD沿y軸向上平移至與⊙O相切，求出此時平移的距離；
（3）如圖3，點A在x 軸正半軸上，點B在x軸上方，當點B在⊙O上運動時：
①直線BD是否總經(jīng)過一定點？若直線BD過一定點，直接寫出這點的坐標；若不過一定點，請說明理由．
②求出點C與圓心O距離的最大值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先證得△CHB≌△AOB，得出CH=BH=OA=OB=1，然后根據(jù)勾股定理求得OC；
（2）根據(jù)勾股定理求得OB′然后OB′-OB即可；
（3）①連接BD交⊙O于E，連接OE，由∠ABD=45°，得出∠AOE=90°，證得OE在y軸上，進而求得E的坐標；②根據(jù)三角形全等求得EC=AE=

2

，因為C在y軸上
點C與圓心O距離的最大，從而求得最大值為

2

+1；

解答：解：（1）如圖1，過點C作CH⊥y軸，垂足為H，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH=∠HCB=45°，
∵AB=BC，
∴△CHB≌△AOB，
∴CH=BH=OA=OB=1，
∴OH=2，
∴OC=

CH2+OH2

=

12+22

=

5

；


（2）如圖2，∵OB′=

2

，OB=1，
∴平移的距離為BB′=OB′-OB=

2

-1；

（3）如圖3，①連接BD交⊙O于E，連接OE，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOE=90°，
∴OE在y軸上，
∴E（0，1），
∴經(jīng)過定點E（0，1）；              
②連接CE，AE，
∵∠CBE=∠ABE，AB=BC，BE=BE，
∴△BC'E≌△BAE．
∴CE=AE=

2

，
∴當點C在y軸正半軸上時，點C與圓心O距離的最大，最大值為

2

+1；

點評：本題是圓的綜合題，主要考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理的應用，圓周角和圓心角的關系等，本題的關鍵是圓心角和圓周角的關系；