Question

8．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則（1）$\frac{AB}{AC}$的值是$\sqrt{2}$；（2）$\frac{BF}{EF}$的值是$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 作FG⊥AB于點(diǎn)G，由AE∥FG，得出$\frac{BF}{EF}=\frac{BG}{GA}$，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=$\sqrt{2}$BC求解．

解答 解：作FG⊥AB于點(diǎn)G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{BG}{GA}$，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分線，
∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{CF=GF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$AC，
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{BG}{GA}$=$\frac{BC}{\sqrt{2}BC-BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行線分線段成比例，全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線的知識，解題的關(guān)鍵是找出線段之間的關(guān)系：CB=GB，AB=$\sqrt{2}$BC，再利用比例式求解．