Question

【題目】如圖，點(diǎn)A是x軸非負(fù)半軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作y軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，連接AC，BC，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．

（Ⅰ）當(dāng)t=2時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)ABCE的面積為S，當(dāng)點(diǎn)C在線段EF上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)t為何值時，BC+CA取得最小值．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）；（2）S=t+8（0≤t≤8）；（3）當(dāng)t=0時，BC+AC有最小值

【解析】試題分析：（I）過M作MG⊥OF于G，分別求OG和MG的長即可；

（II）如圖1，同理可求得AG和OG的長，證明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=t，AF=MG=2，分別表示EC和BE的長，代入面積公式可求得S與t的關(guān)系式；并求其t的取值范圍；

（III）證明△ABO∽△CAF，根據(jù)勾股定理表示AC和BC的長，計算其和，根據(jù)二次根式的意義得出當(dāng)t=0時，值最小．

試題解析：解：（I）如圖1，過M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，當(dāng)t=2時，OA=2．∵M是AB的中點(diǎn)，∴G是AO的中點(diǎn)，∴OG=OA=1，MG是△AOB的中位線，∴MG=OB=×4=2，∴M（1，2）；

（II）如圖1，同理得：OG=AG=t．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=t，AF=MG=2，∴EC=4﹣t，BE=OF=t+2，∴S△BCE=ECBE=（4﹣t）（t+2）=﹣t2+t+4；

S△ABC=ABAC==t2+4，∴S=S△BEC+S△ABC=t+8．

當(dāng)A與O重合，C與F重合，如圖2，此時t=0，當(dāng)C與E重合時，如圖3，AG=EF，即 t=4，t=8，∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=t+8（0≤t≤8）；

（III）如圖1，易得△ABO∽△CAF，∴===2，∴AF=2，CF=t，由勾股定理得：AC===，BC===，∴BC+AC=（ +1），∴當(dāng)t=0時，BC+AC有最小值．