Question

在直角坐標系中，已知點A、B的坐標是（a，0）（b，0），a，b滿足方程組

2a+b=-5 3a-2b=-11

，c為y軸正半軸上一點，且S_△ABC=6．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）是否存在點P（t，t），使S_△PAB=

1

3

S_△ABC？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若M是AC的中點，N是BC上一點，CN=2BN，連AN、BM相交于點D，求四邊形CMDN的面積是

 

．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質,解二元一次方程組,三角形的面積

專題：

分析：（1）解出方程組即可得到時點A，B的坐標，利用S_△ABC=6，求出點C的坐標．
（2）利用S_△PAB=

1

3

S_△ABC求出點P的坐標．
（3）先求出點M，N的坐標，再求出BM所在的直線，AN所在的直線，進而求出點D的坐標，利用三角形面積公式可求出S_△ADB，S_△ABN及S_△BND，利用四邊形CMDN的面積=△CBM的面積-△BND的面積求出四邊形CMDN的面積．

解答：解：（1）方程組

2a+b=-5 3a-2b=-11

，解得

a=-3 6=1

，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵c為y軸正半軸上一點，且S_△ABC=6，
∴

1

2

AB•OC=6，解得OC=3
∴C（0，3）
（2）∵P（t，t），且S_△PAB=

1

3

S_△ABC，
∴

1

2

×4×|t|=

1

3

×6，解得t=±1，
∴P（1，1）或（-1，-1）
（3）如圖，

∵M是AC的中點，CN=2BN，
∴點M的坐標為：（-

3

2

，

3

2

），點N的坐標為（

2

3

，1）
設BM所在的直線為y=k₁x+b₁，AN所在的直線為y=k₂x+b₂
∵A（-3，0），B（1，0），
方程組為

3 2 =- 3 2 k1+b1 0=k1+b1

，

1= 2 3 k2+b2 0=-3k2+b2

解得

k1=- 3 5 b1= 3 5

，

k2= 3 11 b2= 9 11

∴BM所在的直線為y=-

3

5

x+

3

5

，AN所在的直線為y=

3

11

x+

9

11

．

y=- 3 5 x+ 3 5 y= 3 11 x+ 9 11

解得

x=- 1 4 y= 3 4

∴點D的坐標為（-

1

4

，

3

4

），
∴S_△ADB=

1

2

×4×

3

4

=

3

2

，
∵S_△ABN=

1

3

S_△ABC=6×

1

3

=1=2，
∴S_△BND=2-

3

2

=

1

2

，
∴四邊形CMDN的面積=△CBM的面積-△BND的面積=

1

2

×6-

1

2

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題主要考查了坐標與圖形性質，三角形的面積和解二元一次方程組，解題的關鍵是求出點D的坐標．