Question

問題探究：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，為探究Rt△ABC中30°角所對(duì)的直角邊AC與斜邊AB的數(shù)量關(guān)系，學(xué)習(xí)小組成員已經(jīng)添加了輔助線．
（1）請(qǐng)敘述輔助線的添法，并完成探究過程；
探究應(yīng)用1：如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點(diǎn)D在線段CB上，以AD為邊作等邊△ADE，連接BE，為探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，組長(zhǎng)已經(jīng)添加了輔助線：取AB的中點(diǎn)F，連接EF．
（2）線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；并說明理由；
探究應(yīng)用2：如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，以AD為邊作等邊△ADE，連接BE．
（3）線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系是

 

，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）如圖1，作BC的垂直平分線PD交AB、BC于P、D，就可以得出PC=PB，∠PCB=∠B=30°，∠ACP=60°，得出△ACP是等邊三角形，就可以得出AP=AC=PB=

1

2

AB，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）如圖2，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分線的性質(zhì)就可以得出結(jié)論BE=DE；
（3）如圖3，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分線的性質(zhì)就可以得出結(jié)論BE=DE．

解答：解：（1）如圖1，作CB的垂直平分線分別交AB、BC于P、D，
∴PC=PB，
∴∠PCB=∠B=30°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A=60°，∠ACP=60°，
∴∠APC=∠A=∠ACP=60°，
∴△ACP是等邊三角形，
∴AC=AP=PC．
∴AC=AP=PB=

1

2

AB，
即AC=

1

2

AB；．
（2）BE=DE．
理由：如圖2，∵F是AB的中點(diǎn)，
∴AF=

1

2

AB．
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB，∠CAB=60°．
∴AC=AF．
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，
∴∠CAB=∠DAE，
∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3，
∴∠1=∠2．
在△ACD和△AFE中，

AC=AF ∠1=∠2 AD=AE

，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE=90°，
∴EF⊥AB．
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴EF是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴BE=DE．
故答案為：BE=DE；
（3）BE=DE．
理由：如圖3，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，
∴AF=

1

2

AB．
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB，∠CAB=60°．
∴AC=AF．
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，
∴∠CAB=∠DAE，
∴∠CAB-∠2=∠DAE-∠2，
∴∠1=∠3．
在△ACD和△AFE中，

AC=AF ∠1=∠3 AD=AE

，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE=90°，
∴EF⊥AB．
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴EF是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴BE=DE．
故答案為：BE=DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．