Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy軸，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=16cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以4cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以5cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以3cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，如果P、Q、R同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤4）s．
（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)R的坐標(biāo)為

 

；（用含有字母t的代數(shù)式表示）
（2）球場△PQR的面積S（cm²）與動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式，并求面積S為42cm²時(shí)t的值；
（3）如圖2，以PQ為直徑作⊙D，試求t為何值時(shí)，⊙D與△OAB的一邊相切？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OA=16cm，OB=12cm及P、Q、R的移動(dòng)速度即可得出各點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）S=S_△AOB-S_△POR-S_△APQ-S_△BQR即可得出S與t的關(guān)系式，再根據(jù)S=4242cm²可得出t的值；
（3）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)⊙D與△OAB的AB邊相切；⊙D與△OAB的OA邊相切及⊙D與△OAB的OB邊相切三種情況進(jìn)行討論即可．

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以4cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，
∴P（4t，0）；
∵OA=16cm，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以5cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（16-4t，3t）；
同理，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，12-3t）．
故答案為：（4t，0），（16-4t，3t），（0，12-3t）；

（2）∵由（1）的結(jié)論可知，點(diǎn)Q到x軸的距離為3t，到y(tǒng)軸的距離為（16-4t），PA=16-4t，
∴S=S_△AOB-S_△POR-S_△APQ-S_△BQR
=

1

2

×16×12-

1

2

×4t×（12-3t）-

1

2

×（16-4t）×3t-

1

2

×3t×（16-4t）
=18t²-72t+96，
當(dāng)S=42時(shí)，18t²-72t+96=42，解得t₁=1，t₂=3．
故S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=18t²-72t+96，當(dāng)t=1或3時(shí)，S的值為42cm²．

（3）在Rt△ABC中，
∵OA=16cm，OB=12cm，
∴AB=

OA2+OB2

=

162+122

=20cm，
當(dāng)⊙D與△OAB的AB邊相切時(shí)，如圖1所示，PQ⊥AB，
∵∠AOB=∠AQP=90°，∠BAO為公共角，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AQ

=

AB

OA

，即

16-4t

5t

=

20

16

，解得t=

64

41

；



當(dāng)⊙D與△OAB的OA邊相切時(shí)，如圖2所示，同上可得t=2；

當(dāng)⊙D與△OAB的OB邊相切時(shí)，如圖3所示，過D、Q兩點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線段，垂足分別為H、F、G、E，易知DF為梯形EQPO的中位線，
∴DF=

1

2

（EQ+OP）=8，即PQ=16，
在Rt△PQG中，（3t）2+[4t-（16-4t）]²=16²，解得t=0或t=

256

73

．
綜上所述，當(dāng)t為0s或s2或

64

41

s或

256

73

s時(shí)，⊙D與△OAB的一邊相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，熟知切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．