Question

如圖，已知直線l：y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，A（-2，0），B（0，1）．
（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)P的坐標(biāo)；
（3）在y軸上有點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D在直線l上，若△ACD面積等于4，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再分PA=AB時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊和右邊兩種情況，PB=AB時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，PA=PB時(shí)，利用∠PAB的余弦列式求出AP，再求出OP，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）分點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，S_△ACD=S_△ABC+S_△BCD列方程求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，再代入直線解析式計(jì)算即可得解；點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，S_△ACD=S_△BCD-S_△ABC列方程求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，再代入直線解析式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（0，1），
∴

-2k+b=0 b=1

，
解得

k= 1 2 b=1

，
所以，直線l的表達(dá)式為y=

1

2

x+1；

（2）由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

22+12

=

5

，
①PA=AB時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊，則OP=2+

5

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2-

5

，0），
若點(diǎn)P在點(diǎn)A的右邊，則OP=

5

-2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

-2，0），
②PB=AB時(shí)，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，OP=OA，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），
③PA=PB時(shí)，cos∠PAB=

5 2

AP

=

2

5

，
解得AP=

5

4

，
所以，OP=2-

5

4

=

3

4

，
所以，點(diǎn)P得到坐標(biāo)為（-

3

4

，0），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2-

5

，0）或（

5

-2，0）或（2，0）或（-

3

4

，0）；

（3）∵B（0，1），C（0，3），
∴BC=3-1=2，
點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，S_△ACD=S_△ABC+S_△BCD，
=

1

2

×2×（2+x_D）=4，
解得x_D=2，
此時(shí)y=

1

2

×2+1=2，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），
點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，S_△ACD=S_△BCD-S_△ABC，
=

1

2

×2×（-x_D-2）=4，
解得x_D=-6，
此時(shí)，y=-6×

1

2

+1=-2，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，-2），
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）或（-6，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形的面積，難點(diǎn)在于（2）（3）分情況討論．