Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD、BD．
（1）求弦AB的長；
（2）當(dāng)∠ADC=15°時，求弦BD的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖，過O作OE⊥AB于E，根據(jù)垂徑定理知道E是AB的中點，然后在Rt△OEB中利用已知條件即可求解；
（2）由∠ADC=15°，可以求得△OBD是等腰直角三角形，即可以得到答案．

解答：解：（1）如圖1，過O作OE⊥AB于E，
∴E是AB的中點，
 在Rt△OEB中，OB=4，∠B=30°，
∴OE=2，
∴BE=2

3

∴AB=2BE=4

3

．
（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上連接BD，
∵∠ADC=15°，OA=OD，
∴∠OAD=15°，
又∵∠OBC=30°，OA=OB，
∴∠ADC=30°，
∴∠DAC=45°
∴∠DOB=90°
∴BD=

OB2+OD2

=

42+42

=4

2

．

點評：此題綜合考查了垂徑定理、解直角三角形的應(yīng)用及三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系，同時也利用勾股定理進(jìn)行計算．