Question

如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AF．
（1）如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，求證：CD=2AF；
（2）當(dāng)∠BAE≠90°時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖②說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形中位線定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）因?yàn)锳F是直角三角形ABE的中線，所以BE=2AF，然后通過△ABE≌△ACD即可求得．
（2）延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD，然后根據(jù)三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，即可求得．

解答：（1）證明：如圖①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE與△ACD中

AE=AD ∠BAE=∠CAD=90° AB=AC

∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF．

（2）成立，
證明：如圖②，延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH與△ACD中，

AH=AD ∠BAH=∠CAD AB=AC

∴△ABH≌△ACD（SAS）
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF．

點(diǎn)評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)等．作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵