Question

13．如圖，在△ABC中，∠ABP=2∠PBC，∠ACP=2∠PCB．
（1）若∠BPC=140°，求∠A的度數(shù)．
（2）求證：∠P=120°+$\frac{1}{3}$∠A．

Answer 1

分析 （1）要求∠A的度數(shù)，只需求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，只需求出∠PBC+∠PCB，只需運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，將∠P轉(zhuǎn)化為∠PBC+∠PCB，結(jié)合條件可轉(zhuǎn)化為∠ABC+∠ACB，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為∠A，問題得以解決．

解答 解：（1）∵∠BPC=140°，∴∠PBC+∠PCB=180°-140°=40°．
∵∠ABP=2∠PBC，∠ACP=2∠PCB，
∴∠ABC=3∠PBC，∠ACB=3∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=3（∠PBC+∠PCB）=3×40°=120°，
∴∠A=180°-120°=60°；

（2）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠A）
=120°+$\frac{1}{3}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，運(yùn)用整體思想是解決本題的關(guān)鍵．