Question

8．如圖1，在正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，求證：GE=BE+GD；
（3）如圖2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB邊上一點(diǎn)，且∠GCE=45°，BE=2，求GE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出CB=CD，∠CBE=∠CDF=90°，然后根據(jù)SAS證得△CBE≌△CDF，即可證得結(jié)論；
（2）首先證得∠GCF=∠GCE=45°，然后根據(jù)SAS證得△ECG≌△FCG，即可證得GE=GF=DF+GD=BE+GD；
（3）圖2中將梯形ABCG補(bǔ)成圖1所示的正方形ABCD，再延長(zhǎng)AD到F使得DF=BE，由（1）（2）結(jié)論知GE=GD+BE，設(shè)GD=x，則AG=6-x，AE=6-2=4，GE=x+2，然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程求得GD的長(zhǎng)，即可求得EG的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠CBE=∠CDF=90°，
在△CBE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠CBE=∠CDF}\\{DF=BE}\end{array}\right.$
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；
（2）證明：∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°，
由（1）可知△CBE≌△CDF，
∴∠DCF=∠BCE，BE=DF，
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=45°，
在△ECG和△FCG中
$\left\{\begin{array}{l}{EC=FC}\\{∠GCE=∠GCF=45°}\\{GC=GC}\end{array}\right.$
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，
即GE=BE+GD；
（3）解：圖2中將梯形ABCG補(bǔ)成圖1所示的正方形ABCD，再延長(zhǎng)AD到F使得DF=BE，
由（1）（2）結(jié)論知GE=GD+BE，
設(shè)GD=x，∵AB=BC=6，BE=2，
∴AG=6-x，AE=6-2=4，GE=x+2，
∵EG²=AG²+AE²，
∴（x+2）²=（6-x）²+4²，
解得x=3，
∴GE=BE+GD=2+3=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)論將梯形ABCG補(bǔ)成圖1所示的正方形是解題的關(guān)鍵．