Question

4．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的圖象與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為點D，該二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線BC相交于點E，與x軸交于點F；
（1）求直線BC的解析式；
（2）試判斷△BFE與△DCE是否相似？并說明理由；
（3）在坐標軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形與△DCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，可求得C點坐標，令y=0，可求得A、B點坐標，設出直線BC解析式，由待定系數(shù)法即可得出結論；
（2）觀察兩三角形可知，存在一個對頂角，只需再有一個角相等即可，由于DF⊥x軸，在△DCE中只要找到一個直角即可，結合邊的長度由勾股定理可得出結論；
（3）結合（2）的結論，只要找到以點P、B、C為頂點的三角形與△BFE相似即可，分BC為斜邊，直角邊討論即可．

解答 解：（1）令x=0，則有y=6，
∴C點坐標為（0，6）；
令y=0，則有-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴A點坐標為（-2，0），B點坐標為（6，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-x+6．
（2）假設△BFE與△DCE相似．
∵二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴D點坐標為（2，8），直線DE解析式為x=2．
∵直線BC、DE相交于點E，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{x=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
即點E坐標為（2，4）．
∵點C（0，6），點D（2，8），
∴DE=4，CE=$\sqrt{（0-2）^{2}+（6-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（0-2）^{2}+（6-8）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DE²=CE²+CD²，
∴∠DCE=90°．
又∵∠BFE=90°，且∠DEC=∠BEF，
∴△DCE∽△BEF．
（3）假設存在．
由（2）可知△DCE∽△BEF，
故只需找到以點P、B、C為頂點的三角形與△BEF相似即可．
①以BC為斜邊，如圖1．

此時P點與O點重合，故P點坐標為（0，0）；
②以BC為直角邊，點P在x軸上，如圖2．

∵點C（0，6），點B（6，0），
∴BO=6，CO=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴BP=$\frac{BC}{sin∠OBC}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=12，
∴P點坐標為（-6，0）；
③以BC為直角邊，點P在y軸上，如圖3．

CP=$\frac{BC}{sin∠OCB}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=12，
∴P點坐標為（0，-6）．
綜上可知：在坐標軸上存在這樣的點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形與△DCE相似，P點的坐標為（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式、相似三角形的判定、勾股定理及三角函數(shù)的應用，解題的關鍵：（1）找出B、C點的坐標；（2）利用勾股定理找到△DCE中有直角；（3）分BC為斜邊，直角邊討論．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）稍微有點難度，一般的此類問題中會沒有（2）的，此題中（2）給（3）指出了方向，因此降低了難度．