Question

11．如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來從A地到B地需要經(jīng)過橋DC，沿折線A→D→C→B到達(dá)，現(xiàn)在新建了橋EF（EF=DC），可直接沿直線AB從A地到達(dá)B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，橋DC和AB平行．
（1）求橋DC與直線AB的距離；
（2）現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走多少路程？
（以上兩問中的結(jié)果均精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.14，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）要求橋DC與直線AB的距離，只要作CH⊥AB于點(diǎn)H，求出CH的長度即可，由BC和∠B可以求得CH的長，本題得以解決；
（2）要求現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走多少路程，只要求出AD與BC的和比AB-EF的長度多多少即可，由于DC=EF，有題意可以求得各段線段的長度，從而可以解答本題．

解答 解：（1）作CH⊥AB于點(diǎn)H，如下圖所示，

∵BC=12km，∠B=30°，
∴$CH=\frac{1}{2}BC=6$km，BH=$6\sqrt{3}$km，
即橋DC與直線AB的距離是6.0km；
（2）作DM⊥AB于點(diǎn)M，如下圖所示，

∵橋DC和AB平行，CH=6km，
∴DM=CH=6km，
∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，
∴AD=$\frac{DM}{sin45°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=6\sqrt{2}$km，AM=DM=6km，
∴現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走的路程是：（AD+DC+BC）-（AM+MH+BH）=AD+DC+BC-AM-MH-BH=AD+BC-AM-BH=$6\sqrt{2}+12-6-6\sqrt{3}$=6$+6\sqrt{2}-6\sqrt{3}$≈4.1km，
即現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走的路程是4.1km．

點(diǎn)評 本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題，注意ME=DC=EF．