Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

3

2

，前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足2a_n+1+S_n=3（ n∈N^*）．則滿(mǎn)足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)遞推數(shù)列，得到數(shù)列{a_n}是公比q=

1

2

，首項(xiàng)a₁=

3

2

的等比數(shù)列，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵2a_n+1+S_n=3，
∴2a_n+2+S_n+1=3，
兩式相減得2a_n+2+S_n+1-2a_n+1-S_n=0，
即2a_n+2+a_n+1-2a_n+1=0，
則2a_n+2=a_n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₂+a₁=3，
則a₂=

3

4

，滿(mǎn)足2a₂=a₁，
即2a_n+1=a_n，則

an+1

an

=

1

2

即數(shù)列{a_n}是公比q=

1

2

，首項(xiàng)a₁=

3

2

的等比數(shù)列，
則前n項(xiàng)和為S_n=

3 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=3-3•（

1

2

）ⁿ，

S2n

Sn

=

3-3•( 1 2 )2n

3-3•( 1 2 )n

=

1-[( 1 2 )n]2

1-( 1 2 )n

=1+（

1

2

）ⁿ，
若

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

，
則

18

17

＜1+（

1

2

）ⁿ＜

8

7

，即

1

17

＜（

1

2

）ⁿ＜

1

7

，
則7＜2ⁿ＜17，
則n=3或4，
則3+4=7，
故答案為：7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)遞推數(shù)列得到數(shù)列{a_n}是公比q=

1

2

，首項(xiàng)a₁=

3

2

的等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．