Question

如圖所示，用邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋水箱，先在四角分別截去一個(gè)相同的小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接成無(wú)蓋水箱，則水箱的最大容積為

 

（cm³）．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)水箱底長(zhǎng)為xcm，則高為

60-x

2

cm，求出容器的容積，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)水箱底長(zhǎng)為xcm，則高為

60-x

2

cm．
由

60-x 2 ＞0 x＞0

得0＜x＜60．
設(shè)容器的容積為ycm³，則有y=-

1

2

x3+30x2．  …（2分）
求導(dǎo)數(shù)，有y′=-

3

2

x2+60x．   …（4分）
令y′=0，解得x=40（x=0舍去）．
當(dāng)x∈（0，40）時(shí)，y'＞0；當(dāng)x∈（40，60）時(shí)，y'＜0，…（6分）
因此，x=40是函數(shù)y=-

1

2

x3+30x2的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，此時(shí)y=16000cm³．
故答案為：16000．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了立方體容積計(jì)算方法，解答關(guān)鍵是求出水箱的底邊長(zhǎng)和高，注意挖掘題目中的隱含條件，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．