Question

15．（文）已知△ABC中，cosA=a，sinB=$\frac{4}{5}$，當(dāng)a滿足條件0時，cosC具有唯一確定的值．

Answer 1

分析 設(shè)sinA=m，sinB=n，由正弦定理和余弦定理分析出cosC有唯一確定值的方法．

解答 解：設(shè)sinA=m，sinB=n，由正弦定理$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}=\frac{sinC}{c}=k$，得到a=$\frac{sinA}{k}$=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{4}{5k}$=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，
又由余弦定理得到cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-1+co{s}^{2}C}{2mn}$，所以cos²C-2mncosC+（m²+n²-1）=0，
因為cosC具有唯一確定的值，所以判別式△=4m²n²-4（m²+n²-1）=0，
化簡得（m²-1）（n²-1）=0，由于m，n不能同時為1，所以m，n只有一個為1時，即三角形為直角三角形時，cosC有唯一確定的值；此時A=0；
故答案為：0．

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理的運用；從方程判別式的角度求出cosC有唯一確定值的方法．