Question

已知一個三棱錐的三視圖如圖，其中俯視圖是斜邊長為2的等腰直角三角形，該三棱錐的外接球的半徑為

2

，則該三棱錐的體積為（　�。�

• A、

  2

  3

• B、

  4

  3

• C、

  2

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)三視圖知幾何體為三棱錐，側(cè)面與底面垂直，其外接球即為分別以O(shè)A，OB，OC為長寬高的長方體的外接球，由此求出OC的值，代入棱錐的體積公式計算．

解答： 解：由三視圖知幾何體為三棱錐，且側(cè)棱CO與底面OAB垂直，其直觀圖如圖：

∵其俯視圖是斜邊長為2的等腰直角三角形，
∴OA=OB=

2

，
其外接球即為分別以O(shè)A，OB，OC為長寬高的長方體的外接球，
設(shè)OC=x，
∵三棱錐的外接球的半徑為

2

，
∴2

2

=

OA2+OB2+OC2

=

2+2+x2

，
解得：OC=2，
∴棱錐的體積V=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2=

2

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，由三視圖畫出幾何體的直觀圖，求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是關(guān)鍵．