Question

若x²+xy-y²=0，則

x2+3xy+y2

x2+y2

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由x²+xy-y²=0，（x與y中至少有一個(gè)不等于0）可得(

x

y

)2+

x

y

-1=0，令

x

y

=t，則t²+t-1=0，解得t.

x2+3xy+y2

x2+y2

=

t2+3t+1

t2+1

=

2+2t

2-t

．代入即可．

解答： 解：∵x²+xy-y²=0，x與y中至少有一個(gè)不等于0．
∴(

x

y

)2+

x

y

-1=0，令

x

y

=t，則t²+t-1=0，解得t=

-1± 5

2

．可得t²+1=2-t．
∴

x2+3xy+y2

x2+y2

=

t2+3t+1

t2+1

=

2+2t

2-t

．
當(dāng)t=

-1+ 5

2

時(shí)，上式=

2+ 5 -1

2- 5 -1 2

=

5+3 5

5

=1+

3 5

5

．
當(dāng)t=

-1- 5

2

時(shí)，上式=

2-1- 5

2- -1- 5 2

=

5-3 5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解法和代數(shù)式的求值，考查了換元法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．