Question

已知函數(shù)f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x，g（x）=

3

2

x-f（x）-

2

x

．
（Ⅰ）求f′（1）的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=x²-mx+4，若存在x₁∈（0，1]，對(duì)于任意的x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求f′（1）的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-f′（1），
令x=1，則f′（1）=1-f′（1），
∴f′（1）=

1

2

，
則f（x）=ln

ex

2

-

1

2

•x，f′（x）=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

，
由f′（x）=

2-x

2x

＞0，解得0＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=

2-x

2x

＜0，解得x＞2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），遞減區(qū)間為（2，+∞）；
（Ⅱ）g（x）=

3

2

x-f（x）-

2

x

=2x-ln

ex

2

-

2

x

．
則g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=

2x2-x+2

x2

=

2(x- 1 4 )2+ 15 8

x2

＞0
則在（0，1]上函數(shù)單調(diào)遞增，則g（x）的最小值為g（1）=ln2-1，
若存在x₁∈（0，1]，對(duì)于任意的x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，
等價(jià)為g（x）在（0，1]上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值，
而h（x）在[1，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}，
則

g(1)=ln2-1≥h(1) g(1)=ln2-1≥h(2)

，
即

ln2-1≥5-m ln2-1≥8-2m

，
則

m≥6-ln2 m≥ 1 2 (9-ln2)

，
即m≥6-ln2，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[6-ln2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．