Question

已知向量

a

=（x，

3

y），

b

=（1，0），且（

a

+

3

b

）•（

a

-

3

b

）=0．
（1）求點Q（x，y）的軌跡C的方程；
（2）設曲線C與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，又點A（0，-1），當|AM|=|AN|時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用向量的數量積公式，結合（

a

+

3

b

）•（

a

-

3

b

）=0，即可求點Q（x，y）的軌跡C的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，分類討論，設弦MN的中點為P，利用|AM|=|AN|，AP⊥MN，即可求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意向量

a

=（x，

3

y），

b

=（1，0），且（

a

+

3

b

）•（

a

-

3

b

）=0，
∴(x+

3

)(x-

3

)+

3

y•

3

y=0，
化簡得

x2

3

+y2=1，
∴Q點的軌跡C的方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，∴△＞0，即m²＜3k²+1．①…（6分）
（i）當k≠0時，設弦MN的中點為P（x_P，y_P），x_M、x_N分別為點M、N的橫坐標，則xP=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，
從而yP=kxP+m=

m

3k2+1

，kAP=

yP+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

，…（8分）
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
則-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1，②
將②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k2=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

，
故所求的m的取值范圍是（

1

2

，2）．…（10分）
（ii）當k=0時，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m²＜3k²+1，
解得-1＜m＜1．…（12分）
綜上，當k≠0時，m的取值范圍是（

1

2

，2），
當k=0時，m的取值范圍是（-1，1）．…（13分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查小時分析解決問題的能力，屬于中檔題．