Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，∠ABC=60°．
（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C．
（Ⅱ）求直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角的正切值．
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面A₁BC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）先證明AB⊥AC，AB⊥AA₁，可得AB⊥平面ACC₁A₁，即可證明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角為∠BC₁A，即可求直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角的正切值．
（Ⅲ）利用等積變換，可求點(diǎn)A到平面A₁BC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：∵△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=60°，
∴由正弦定理有

3

sin60°

=

1

sin∠ACB

，∴sin∠ACB=

1

2

，
又AB＜AC，∴∠ACB=30°．
從而∠BAC=90°，即AB⊥AC，
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∴AB⊥AA₁，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，∴AB⊥A₁C                         …（4分）
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角為∠BC₁A，
在RtBC₁A中AB=1，AC₁=

AC2+AA12

=

6

，
∴tan∠BC₁A=

AB

AC1

=

6

6

 …（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)A到平面A₁BC的距離為h，則
△A₁BC中，A₁B=BC=2，A₁C=

6

，∴S_△A1BC=

1

2

•

6

•

5

=

30

2

，
∴由等體積可得

1

3

•

1

2

•1•

3

•

3

=

1

3

•

30

2

h，
∴h=

15

5

                                           …（12分）

點(diǎn)評：本題著重考查了直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和線面所成角的定義及等積變換等知識，屬于中檔題．