Question

某學(xué)習(xí)小組共有n個同學(xué)．
（1）若從中任選2人分別上臺做數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹，其方法數(shù)至少有20種，求n的取值范圍；
（2）若從中任選2人去聽講座與任選3人去聽講座的方法數(shù)相同，求n的值；
（3）課外輔導(dǎo)時，有數(shù)學(xué)、物理兩個興趣班可供這n個同學(xué)選報，每人必須報而且只能報一個班，如果總的選擇方法數(shù)為m，求證：對任意n≥2總有m＞n+1．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：綜合題,二項式定理

分析：（1）求出從n個同學(xué)中任選2人分別上臺做數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹的方法數(shù)，利用方法數(shù)至少有20種，求n的取值范圍；
（2）若從中任選2人去聽講座與任選3人去聽講座的方法數(shù)相同，利用組合知識，可求n的值；
（3）根據(jù)二項式定理，利用放縮法，即可證明．

解答： 解：（1）從n個同學(xué)中任選2人分別上臺做數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹，其方法數(shù)為

A

2 n

，
∴由

A

2 n

≥20得n≥5或n≤-4（舍去）
∴n的取值范圍為n≥5且n∈N．----------------------------------------------4分
（2）從n個同學(xué)中任選2人去聽講座與任選3人去聽講座的方法數(shù)分別為

C

2 n

，

C

3 n

----6分
∴由

C

2 n

=

C

3 n

得n=5，∴n的值為5．------------------------------------------8分
（3）依題意得m=2ⁿ-------------------------------------------------------10分
∴2n=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

＞

C

0 n

+

C

1 n

=n+1(n≥2)----------------------13分

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查排列、組合知識的運用，屬于中檔題．