Question

如表所示，將數(shù)以斜線作如下分群：（1），（2，3），（4，5，6），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…并順次稱其為第1群，第2群，第3群，第4群，…，

1	3	5	7	9	…
2	6	10	14	18	…
4	12	20	28	36	…
8	24	40	56	72	…
16	48	80	112	144	…
…	…	…	…	…	…

則第n群中n個數(shù)的和等于

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：觀察數(shù)列的每一列，得到第一個數(shù)列，第2個數(shù)列，…都是以2為公比的等比數(shù)列，不難求出第6類中的第2項；第n類中n個數(shù)表示出后，求出和即可．

解答： 解：由題意數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為：
1
2    3
4    6     5
8    12    10   7
16   24    20   14   9
32   48    40   28   19   11
…
可知每一列都是等比數(shù)列，每一行最后一個數(shù)是等差數(shù)列，公差為2，
所以第6類中的第2項是：3×2⁴=48．
第n個類中n個數(shù)為：S_n=1×2 ^n-1+3×2^n-2+5×2 ^n-3+…+（2n-1）•2 ⁰…①
2S_n=1×2 ⁿ+3×2^n-1+5×2 ^n-2+…+（2n-1）•2 ¹…②，
②-①得，S_n=2 ⁿ+2×2^n-1+2×2 ^n-2+…+2•2 ¹-2n+1
=2 ⁿ+2ⁿ+2 ^n-1+…+2 ²-2n+1
=2n+

4(1-2n-1)

1-2

-2n+1
=3•2ⁿ-2n-348，
故答案為：3•2ⁿ-2n-3

點評：本題主要考查新定義和分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，找出數(shù)列的特征是解題的關(guān)鍵．