Question

11．如圖1所示，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交與點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△EBC的面積最大，如果存在，請(qǐng)求出最大面積及點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB交拋物線與點(diǎn)P，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，將線段PM繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)M恰好落在x軸上的點(diǎn)M₁處，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，構(gòu)造方程組，解得拋物線的解析式；
（2）設(shè)y=x+b（b＜-3）與拋物線切于E點(diǎn)，則此時(shí)△EBC的面積最大，聯(lián)立方程求出E點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案；
（3）先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換公式，可得滿(mǎn)足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交與點(diǎn)C（0，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）由B（3，0），C（0，-3），
可得直線BC的方程為$\frac{x}{3}-\frac{y}{3}=1$，即y=x-3，
設(shè)y=x+b（b＜-3）與拋物線切于E點(diǎn)，則此時(shí)△EBC的面積最大，
由$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}-2x-3\\ y=x+b\end{array}\right.$得：x²-2x-（b+3）=0，
令△=0，則b=-4，
此時(shí)：x=1，y=-4，
即E點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，-4）；
E到BC的距離d=$\sqrt{2}$，
△EBC的面積S=$\frac{1}{2}$BC•d=3；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB交拋物線與點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），
設(shè)M₁點(diǎn)坐標(biāo)為：（n，0），
若n=2，則PM₁=3，此時(shí)對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)為（-1，-3）或（5，-3）點(diǎn)均不在拋物線上；
若n＞2，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)為（-1，n-5），
此時(shí)n-5=1+2-3=0，解得：n=5；
故M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）；
若n＜2，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)為（5，5-n），
此時(shí)5-n=25-10-3=0，解得：n=-7，
故M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，12），
綜上M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）或（5，12）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．