Question

已知二元函數(shù)f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

（x∈R，θ∈R），則f（x，θ）的最大值和最小值分別為（　　）

• A、

  7

  7

  ，-

  7

  7

• B、

  7

  ，-

  7

  7

• C、2

  2

  ，-2

  2

• D、2

  2

  ，-

  2

  4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x=0時(shí)，f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

=0，函數(shù)不取最值，當(dāng)x≠0時(shí)，f（x，θ）=

cosθ

x+ 2 x +sinθ

，令u=x+

2

x

，則f=

cosθ

sinθ+u

，其意義為平面上單位圓上動(dòng)點(diǎn)（cosθ，sinθ）與（-u，0）點(diǎn)連線斜率k的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合后，可得f（x，θ）的最大值和最小值．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

=0，
當(dāng)x≠0時(shí)，f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

=

cosθ

x+ 2 x +sinθ

，
令u=x+

2

x

，則|u|≥2

2

，即u≤-2

2

，或u≥2

2

，
則f=

cosθ

sinθ+u

，其意義為平面上單位圓上動(dòng)點(diǎn)（cosθ，sinθ）與（-u，0）點(diǎn)連線斜率k的倒數(shù)，

∵k∈（-∞，-

7

]∪[

7

，+∞），
故f=

cosθ

sinθ+u

∈[-

7

7

，

7

7

]
故f（x，θ）的最大值和最小值分別為

7

7

，-

7

7

，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中分析出f=

cosθ

sinθ+u

，其意義為平面上單位圓上動(dòng)點(diǎn)（cosθ，sinθ）與（-u，0）點(diǎn)連線斜率k的倒數(shù)，是解答的關(guān)鍵．