Question

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的區(qū)間[2t，t+1]上單調(diào)，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）記g（x）=f（x）+4（1-m）x，對于任意的實數(shù)x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：綜合題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可設(shè)函數(shù)的頂點式f（x）=a（x-1）²+1（a＞0），再由f（0）=3可得a；
（2）由題意可知區(qū)間在對稱軸的一側(cè)，由此可得不等式；
（3）對于任意的實數(shù)x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8，等價于g（x）_max-g（x）_min≤8，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分情況討論可求得最值，再解不等式即可；

解答： 解：（1）∵f（0）=f（2），
∴f（x）的對稱軸為x=1，
又f（x）的最小值為1，
∴設(shè)f（x）=a（x-1）²+1（a＞0），
則f（0）=a+1=3，解得a=2，
∴f（x）=2（x-1）²+1；
（2）由題意，得2t≥1或t+1≤1，
解得t≥

1

2

或t≤0；
（3）g（x）=f（x）+4（1-m）x=2x²-4mx+3，
對于任意的實數(shù)x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8，等價于g（x）_max-g（x）_min≤8，
①當(dāng)m≤-1時，g（x）_max=g（1）=5-4m，g（x）_min=g（-1）=5+4m，
∴（5-4m）-（5+4m）≤8，即-8m≤8，解得m≥-1，
∴m=-1；
②當(dāng)m≥1時，g（x）_max=g（-1）=5+4m，g（x）_min=g（1）=5-4m，
∴（5+4m）-（5-4m）≤8，即8m≤8，解得m≤1，
∴m=1；
③當(dāng)-1＜m≤0時，g（x）_max=g（1）=5-4m，g（x）_min=g（m）=3-2m²，
∴（5-4m）-（3-2m²）≤8，即m²-2m-3≤0，解得-1≤m≤3，
∴-1＜m≤0；
④當(dāng)0＜m＜1時，g（x）_max=g（-1）=5+4m，g（x）_min=g（m）=3-2m²，
∴（5+4m）-（3-2m²）≤8，即-3≤m≤1，
∴0＜m＜1；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題考查了用待定系法求二次函數(shù)解析式的方法，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)男问�；研究二次函�?shù)的單調(diào)性主要是研究對稱軸與區(qū)間的關(guān)系．考查二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，考查分類討論思想．