Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在區(qū)間[-2，6]上畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）設(shè)集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．試判斷集合A和B之間的關(guān)系，并給出證明；
（3）當(dāng)k＞2時(shí)，求證：在區(qū)間[-1，5]上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|的圖象如圖．
（2）方程f（x）=5的解分別是2-

14

，0，4和2+

14

，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得A，從而得到A B的關(guān)系．
（3）當(dāng)x∈[-1，5]時(shí)，令g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=(x-

4-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，根據(jù)k＞2，分

4-k

2

＜1、

4-k

2

＜-1，兩種情況，分別求得g（x）_min ＞0，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|的圖象如圖：
（2）方程f（x）=5的解分別是2-

14

，0，4和2+

14

，
由于f（x）在（-∞，-1]和[2，5]上單調(diào)遞減，
在[-1，2]和[5，+∞）上單調(diào)遞增，
因此，A=( -∞，  2-

14

 ]  ∪[ 0，  4 ]∪[ 2+

14

，  +∞ )．
由于2+

14

＜6，2-

14

＞-2，
∴B?A．
（3）當(dāng)x∈[-1，5]時(shí)，f（x）=-x²+4x+5．
令g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=(x-

4-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，
∵k＞2，∴

4-k

2

＜1．
又-1≤x≤5，①當(dāng)-1≤

4-k

2

＜1，即2＜k≤6時(shí)，取x=

4-k

2

，
g（x）_min=-

k2-20k+36

4

=-

1

4

[(k-10)2-64]．
∵16≤（k-10）²＜64，
∴（k-10）²-64＜0，則g（x）_min＞0．
②當(dāng)

4-k

2

＜-1，即k＞6時(shí)，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由 ①、②可知，當(dāng)k＞2時(shí)，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在區(qū)間[-1，5]上，y=k（x+3）的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．

點(diǎn)評：本題主要考查作函數(shù)的圖象，集合間的關(guān)系，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．