Question

已知函數(shù)f(x)=

-2

2x-a+1

，若f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：化簡不等式f（x）≥-2^x為2^2x-a+2^x-2≥0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2^2x-a+2^x-2，f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等價于h（x）≥0，利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）在[a，+∞）的最小值h（a），解不等式2•2^a-2≥0即可求出a的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=

-2

2x-a+1

，
∴f（x）≥-2^x可化為，

-2

2x-a+1

≥-2x，
即2^2x-a+2^x-2≥0，
令h（x）=2^2x-a+2^x-2，
則h′（x）=2^2x-a•2ln2+2^x•ln2
=（2^2x-a•2+2^x）ln2，
∵ln2＞0，
∴h′（x）＞0，
∴函數(shù)f(x)=

-2

2x-a+1

在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）=2^2x-a+2^x-2≥h（a）=2•2^a-2，
∵f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等價于，
h（a）=2•2^a-2≥0，
∴a≥0，
∴實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．
故答案為：[0，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．