Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°，D為AC中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于F，將△ABD沿BD折起至△PBD，使∠PDC=90°．

（Ⅰ）求證：PF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出△ABD為正三角形，且AF⊥BD，BD⊥平面PEF，從而得到BD⊥PF．推導出△BAF≌△DAF，從而得到DF⊥AC，由此能證明PF⊥平面BCD，
（Ⅱ）設點C到平面PBD的距離為h，且AB=2，由等積法求出h=

2 6

3

．由此能求出直線PC與平面PBD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：△ABD中，AD=BD，且∠BAD=60°，
∴△ABD為正三角形，且AF⊥BD，
折后PE⊥BD，F(xiàn)E⊥BD，∴BD⊥平面PEF，∴BD⊥PF，
又AD=AB，AF=AF，∠BAF=∠DAF，
∴△BAF≌△DAF，
∴∠FBA=∠FDA=90°，即DF⊥AC，
折后DF⊥DC，且PD⊥DC，
∴DC⊥平面PDF，∴DC⊥PF，
∴PF⊥平面BCD，
（Ⅱ）解：設點C到平面PBD的距離為h，且AB=2，
由題意得PB=PD=BD=3，PE=

3

，EF=

3

3

，PF=

2 6

3

，PC=2

2

，
由V_C-PBD=V_P-BCD，
得

1

3

×(

1

2

×2×

3

)h=

1

3

×(

1

2

×2

3

×1)×

2 6

3

，
解得h=

2 6

3

．
設直線PC與平面PBD所成角為α，
則sinα=

h

PC

=

3

2 2

=

3

3

，
∴直線PC與平面PBD所成角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．