Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤

1

2

-

1

4n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1，代入計(jì)算，可得S₁，S₂，S₃；
（2）確定{

1

Sn

}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得S_n=

1

2n

，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）S_n²=

1

4n2

＜

1

4

（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2），利用疊加法，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1，
∴S₁=

1

2

，S₂=

1

4

，S₃=

1

6

；
（2）解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴

1

Sn

=2n，
∴S_n=

1

2n

，
∴n≥2時(shí)，a_n=

1

2n-2n2

，
∴a_n=

1 2 ，n=1 1 2n-2n2 ，n≥2

（3）證明：∵S_n²=

1

4n2

＜

1

4

（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2）
∴n≥2時(shí)，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²＜

1

4

+

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n-1

-

1

n

）=

1

2

-

1

4n

，
n=1時(shí)，S₁²=

1

2

-

1

4•1

，
綜上，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤

1

2

-

1

4n

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．