Question

已知點A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=

cosα -sinα sinα cosα

對應的變換作用下得到點A（-b，a）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）求曲線C：（x-1）²+y²=1在矩陣M^-1所對應的變換作用下得到的曲線C′的方程．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換,二階行列式與逆矩陣

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法，確定矩陣M，再求矩陣的逆矩陣；
（Ⅱ）設曲線C上任意一點P（x₀，y₀），根據(jù)矩陣變換的公式求出對應的點P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，將點P的坐標代入曲線C方程，化簡即得曲線C'的方程．

解答： 解：（Ι）∵點A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=

cosα -sinα sinα cosα

對應變換的作用下得到的點為B（-b，a），
∴

acosα-bsinα=-b  asinα+bcosα=a

得

cosα=0  sinα=1

      …（3分）
即M=

0 -1 1 0

，由M^-1M=

1 0 0 1

得M^-1=

0 1 -1 0

．…（4分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）是曲線C：（x-1）²+y²=1上任意一點，
則點P（x₀，y₀）在矩陣M對應的變換下變?yōu)辄cP′（x，y）
則有

y0=y x0=-x

，
又∵點P在曲線C：（x-1）²+y²=1上，
∴（-x-1）²+y²=1，即曲線C'的方程為（x+1）²+y²=1．

點評：本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換，考查了曲線方程的求法等基本知識，考查運算求解能力．