Question

如圖示：已知拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l₁、l₂，切線l₁與l₂相交于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在第二象限，且到準(zhǔn)線距離為

5

4

時(shí)，求|AB|；
（2）證明：AB⊥MF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A在第二象限，且到準(zhǔn)線距離為

5

4

，可求A的坐標(biāo)，可得AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出B的坐標(biāo)，即可求|AB|；
（2）證明AB⊥MF，只需證明斜率的積為-1，求出M的坐標(biāo)，分別求出斜率即可．

解答： （1）解：由題意知F（0，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）（1分）
∵

5

4

=y1+

p

2

=y1+1，∴y1=

1

4

（2分）
∴A（-1，

1

4

）時(shí)，此時(shí)直線l方程為：y=

3

4

x+1（3分）
由

y= 3 4 x+1 x2=4y

解得：

x2=4 y2=4

，即B（4，4）（5分）
∴|AB|=

25

4

（6分）
（2）證明：顯然直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，（8分）
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
∵拋物線C的方程為y=

1

4

x2，求導(dǎo)得y′=

1

2

x，（9分）
∴過(guò)拋物線C上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，y-y2=

1

2

x2(x-x2)，（11分）
即 y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

，y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

，
解得兩條切線l₁、l₂的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，即M（2k，-1）．（13分）
∴kFM•kAB=

-1-1

2k

•k=-1．
∴AB⊥MF．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查拋物線的切線，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．