Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）
（1）若f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求a的值；
（2）若x∈[1，3]時，f（x）的最小值為4，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，得到f′（x）≥0恒成立．即可求a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的最值之間的關(guān)系，討論a，利用f（x）的最小值為4，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
若f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a≥0恒成立，
即x²-（a+1）x+a≥0恒成立，
則△=（a+1）²-4a≤0，即（a-1）²≤0，
解得a=1．
（2）f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
若a≤1，f′（x）≥0函數(shù)在[1，3]上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=2≠4，此時不成立．
若a＞1，函數(shù)的在（1，a）上單調(diào)遞減，（a，+∞）上單調(diào)遞增，
若1＜a≤3，則函數(shù)在f（a）取得最小值4，
即f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a²=4，
即3a²-a³=4，則（a+1）（a-2）²=0，解得a=2，滿足條件．
若a＞3，函數(shù)的在[1，3]上單調(diào)遞減，
則最小值為f（3）=2×3³-3（a+1）×3²+6a×3=4，解得a=

23

9

＜3不成立，
綜上：a=2．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，最值與單調(diào)性之間的關(guān)系，注意要進行分類討論．