Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

4sinθ

3

x³+

3

cosθx²+sinθ，其中θ∈[0，

5π

12

]，則導(dǎo)數(shù)f′（

1

2

）的取值范圍是（　�。�

• A、[-2，2]
• B、[

  2

  ，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，2]
• D、[

  2

  ，2]

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先對函數(shù)f（x）=

4sinθ

3

x³+

3

cosθx²+sinθ進行求導(dǎo)，然后將x=

1

2

代入，再由兩角和與差的公式進行化簡，根據(jù)θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得最后答案．

解答： 解：∵f（x）=

4sinθ

3

x³+

3

cosθx²+sinθ，
∴f′（x）=4sinθx²+2

3

cosθx
∴f′（

1

2

）=sinθ+

3

cosθ=2sin（θ+

π

3

）
∵θ∈[0，

5π

12

]，∴θ+

π

3

∈[

π

3

，

3π

4

]
∴sin（θ+

π

3

）∈[

2

2

，1]
∴f′（

1

2

）∈[

2

，2]
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)運算和兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用．考查基礎(chǔ)知識的簡單綜合．高考對三角函數(shù)的考查以基礎(chǔ)題為主，平時要注意基礎(chǔ)知識的積累和基礎(chǔ)題的練習(xí)．