Question

17．已知函數$f（x）={cos^2}（x+\frac{π}{12}）$，g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）設x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（2x₀）的值；
（2）求函數h（x）的單調增區(qū)間；
（3）p（x）=h（x）-t在x∈$[0，\frac{π}{2}]$上有1個零點，求t的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）化簡函數f（x），根據x=x₀是f（x）圖象的對稱軸，求出2x₀，再求g（2x₀）的值；
（2）化簡函數h（x），利用三角函數的圖象與性質求出h（x）的單調增區(qū)間；
（3）根據題意把問題轉化為函數h（x）與y=t圖象的交點問題，結合函數圖象求出t的取值范圍．

解答 解：（1）由題設知，函數$f（x）={cos^2}（x+\frac{π}{12}）$=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]，
∵x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=±1；…（2分）
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z；
解得2x₀=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴g（2x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（2kπ-$\frac{π}{3}$）=1-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；…（4分）
（2）函數h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]+1+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin2x]+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$，
當2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z時，
函數h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$是增函數，
∴函數h（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（3）函數p（x）=h（x）-t在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上有兩個零點，
等價于函數h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$與y=t在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上有兩個交點；
令μ=$2x+\frac{π}{3}$，則μ$∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
則函數y=$\frac{1}{2}sin$μ+$\frac{3}{2}$與y=t在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上有兩個交點；
當μ=$\frac{π}{3}$時，y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{π}{3}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$，
當μ=$\frac{π}{2}$時，y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$=2，
當μ=$\frac{4π}{3}$時，y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{4π}{3}$+$\frac{3}{2}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$，
所以t的取值范圍是$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}≤t＜\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$或t=2．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了函數的零點問題，考查了數形結合思想與轉化思想的應用問題，是綜合性題目．