Question

5．已知函數(shù)f（x）=lg$\frac{kx-1}{x-1}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在[2，+∞）上單調(diào)增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，對k進行分類討論，可得不同情況下函數(shù)的定義域；
（2）若f（x）在[2，+∞）上單調(diào)增，則t=$\frac{kx-1}{x-1}$為增函數(shù)，且當x=2時，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，解得k的取值范圍．

解答 解：（1）當k=0時，$\frac{kx-1}{x-1}$=$\frac{-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，1），即此時函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，1），
當k＜0時，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（$\frac{1}{k}$，1），即此時函數(shù)f（x）的定義域為（$\frac{1}{k}$，1），
當0＜k＜1時，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，1）∪（$\frac{1}{k}$，+∞），即此時函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，1）∪（$\frac{1}{k}$，+∞），
當k=1時，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，1）∪（1，+∞），即此時函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），
當k＞1時，解$\frac{kx-1}{x-1}$＞0得：x∈（-∞，$\frac{1}{k}$）∪（1，+∞），即此時函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，$\frac{1}{k}$）∪（1，+∞），
（2）若f（x）在[2，+∞）上單調(diào)增，則t=$\frac{kx-1}{x-1}$=$\frac{k-1}{x-1}+k$為增函數(shù)，且當x=2時，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}k-1＜0\\ 2k-1＞0\end{array}\right.$，
解得：k∈（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．